Njohja ime e parë me idetë e Kurt Godelit dhe Alan Turingut nuk erdhi nga zhvillimet e inteligjencës artificiale, por nga interesimi për themelet logjike dhe filozofike të matematikës. Në këtë rrugëtim kam pasur fatin të kem mësimdhënës profesor Emrush Gashin, një matematikan të kompletuar, i cili me një përkushtim të jashtëzakonshëm dhe këmbëngulje të rrallë mbronte idenë se formimi i një matematikani nuk mund të kufizohet vetëm në zotërimin e njohurive dhe metodave matematikore. Për matematikanin Gashi, formimi filozofik ishte pjesë e pandashme e formimit të një matematikani, sepse matematika nuk është vetëm shkencë e vërtetimeve, por edhe përpjekje për të kuptuar natyrën e së vërtetës, të arsyetimit dhe të vetë njohjes njerëzore.
Shkruan: Valmir Krasniqi
Pikërisht nën ndikimin e kësaj qasjeje dhe të udhëzimeve të tij për t’u thelluar në teorinë e sistemeve formale, për herë të parë u njoha me veprat dhe idetë e Godelit dhe Turingut. Pyetjet mbi mundësitë dhe kufijtë e një sistemi formal, mbi dallimin ndërmjet së vërtetës dhe vërtetueshmërisë, si dhe mbi natyrën algoritmike të arsyetimit, më çuan drejt një prej debateve më të rëndësishme në historinë e matematikës dhe të filozofisë së saj. Në atë kohë, këto çështje dukeshin kryesisht si probleme të thella teorike, ndërsa sot ato janë bërë pjesë e diskutimeve më aktuale për të ardhmen e matematikës.
Inteligjenca artificiale po ndryshon mënyrën se si punojmë, mësojmë dhe zgjidhim probleme. Bashkë me këto zhvillime po rikthehet edhe një pyetje e vjetër, por ende e pazgjidhur: A mund të bëhen makinat më inteligjente se njeriu dhe, nëse po, a ekzistojnë kufij që ato nuk mund t’i kapërcejnë?
Sot kjo pyetje mund të duket si pasojë e zhvillimeve të fundit teknologjike, por ajo ishte shtruar në diskutimet filozofike e shkencore që para më shumë se shtatë dekadash. Dy matematikanë të shquar të shekullit XX, Alan Turing dhe Kurt Godel, e trajtuan atë nga këndvështrime të ndryshme, duke vendosur themelet e një debati që vazhdon edhe sot.
Në vitin 1950, matematikani britanik Alan Turing botoi në revistën shkencore Mind artikullin tashmë historik “Computing Machinery and Intelligence”. Artikulli fillonte me një pyetje të thjeshtë, por jashtëzakonisht të guximshme për kohën: “A mund të mendojnë makinat?”
Në vend që të përpiqej të jepte një përkufizim përfundimtar të të menduarit, Turing propozoi një qasje tjetër. Ai sugjeroi që aftësia e një makine për të shfaqur sjellje inteligjente të vlerësohej përmes një prove në të cilën një njeri, duke komunikuar vetëm përmes përgjigjeve të shkruara, do të përpiqej të dallonte nëse bashkëbiseduesi ishte njeri apo makinë. Kjo qasje, e njohur më vonë si Testi i Turingut, shënoi një ndryshim rrënjësor në mënyrën e trajtimit të inteligjencës: në vend të pyetjes se çfarë ndodh brenda mendjes, vëmendja zhvendosej tek aftësia për të shfaqur sjellje që ne i konsiderojmë inteligjente. Turing ishte optimist për të ardhmen e makinave. Ai parashikonte se zhvillimi i kompjuterëve do të arrinte një nivel të tillë saqë, deri në fund të shekullit XX, do të kemi makina që mendojnë. Ai besonte se makinat mund të mësonin, të përmirësoheshin dhe të kryenin detyra që deri atëherë konsideroheshin veprimtari ekskluzivisht njerëzore.
Një vit më pas, më 1951, matematikani dhe logjicieni austriak Kurt Godel, një nga figurat më të rëndësishme të logjikës moderne, paraqiti një këndvështrim tjetër gjatë ligjëratës së tij të njohur si “Gibbs Lecture”. Pikënisja e Godelit ishte një nga arritjet më të mëdha të matematikës së shekullit XX: teoremat e paplotësisë, të cilat ai i kishte vërtetuar në vitin 1931. Në thelb, teorema e parë e paplotësisë, në formulimin e saj modern pas përmirësimit të Rosserit, tregon se çdo sistem formal konsistent, efektivisht i aksiomatizueshëm dhe mjaftueshëm i fuqishëm për të përfshirë aritmetikën elementare, përmban pohime matematikore që nuk mund as të vërtetohen, as të mohohen duke përdorur vetëm rregullat e atij sistemi. Për matematikën, rrjedhimet e këtij rezultati ishin të mëdha. Përmes këtij rezultati, Godeli tregonte se ekziston një dallim themelor ndërmjet së vërtetës matematikore dhe asaj që mund të vërtetohet brenda një sistemi të caktuar formal. Nga kjo arritje, Godel ngriti një dilemë të rëndësishme. Sipas formulimit të tij të vitit 1951, ose mendja njerëzore, edhe brenda matematikës së pastër, i tejkalon pafundësisht mundësitë e çdo makine, ose ekzistojnë probleme diofantine absolutisht të pazgjidhshme, pra probleme që nuk mund të zgjidhen me asnjë provë matematikore që mendja njerëzore është në gjendje të konceptojë. Godel nuk kishte vërtetuar se mendja njerëzore është domosdoshmërisht superiore ndaj çdo makine. Ai kishte shtruar dy mundësi logjike, ndërsa personalisht anonte nga pikëpamja se aftësitë e mendjes njerëzore nuk mund të përfshiheshin tërësisht në një mekanizëm të vetëm algoritmik.
Turing kërkonte të kuptonte deri ku mund të arrinin makinat në realizimin e veprimtarive inteligjente, ndërsa Godel kërkonte të kuptonte nëse ekzistonin kufij themelorë për mekanizimin e arsyetimit matematikor. Megjithatë, do të ishte gabim që këto dy pikëpamje të paraqiteshin si një përballje ndërmjet optimizmit dhe pesimizmit teknologjik. Vetë Turing i njihte shumë mirë rezultatet e Godelit. Madje, në artikullin e vitit 1950, ai trajtoi shprehimisht kundërshtimin matematikor ndaj inteligjencës së makinave. Turing pranonte se ekzistojnë kufizime të provuara për çdo makinë të caktuar, por theksonte se prej kësaj nuk rrjedh automatikisht përfundimi se ato nuk vlejnë edhe për njerëzit. Nga ana tjetër, edhe Godel e trajtonte me kujdes mundësinë e mekanizimit të mendimit; rezultatet e tij nuk përjashtonin logjikisht ekzistencën e një makine që mund të kishte aftësi të barasvlershme me arsyetimin matematikor njerëzor.
Pra, çështja nuk kufizohej te pyetja nëse makinat do të bëheshin më të fuqishme. Çështja ishte nëse inteligjenca mund të reduktohet plotësisht në një bashkësi rregullash dhe procedurash algoritmike.
Sot, pas më shumë se shtatë dekadash, zhvillimet e inteligjencës artificiale e kanë rikthyer këtë debat. Sistemet moderne të inteligjencës artificiale mund të zgjidhin probleme të ndërlikuara matematikore, të shkruajnë programe kompjuterike, të analizojnë sasi të mëdha informacioni dhe të prodhojnë argumente që, në shumë raste, janë të vështira të dallohen nga ato të formuluara nga njerëzit. Në disa detyra të caktuara, këto sisteme tashmë i tejkalojnë njerëzit për nga shpejtësia, kapaciteti për përpunimin e informacionit dhe saktësia. Kjo tregon se shumë veprimtari, që dikur konsideroheshin si pjesë vetëm e inteligjencës njerëzore, mund të realizohen edhe nga makinat. Në këtë kuptim, një pjesë e vizionit të Turingut tashmë është bërë realitet.
Por, a do të thotë kjo se çështja është zgjidhur përfundimisht? Jo!
Aftësia për të prodhuar një përgjigje të saktë nuk do të thotë domosdoshmërisht edhe se kuptohet përmbajtja dhe rëndësia e saj. Po kështu, aftësia për të ndërtuar argumente matematikore nuk e zgjidh vetvetiu çështjen nëse çdo formë e arsyetimit mund të përshkruhet përmes një algoritmi.
Duhet pasur kujdes edhe me interpretimin e teoremave të Godelit. Ato nuk tregojnë se inteligjenca artificiale nuk mund ta tejkalojë inteligjencën njerëzore. Kufijtë e një sistemi formal nuk janë automatikisht kufij të çdo sistemi të mundshëm inteligjent dhe, aq më pak, provë se njeriu mund të zgjidhë çdo problem që një makinë nuk mund ta zgjidhë.
Pyetjet që shtruan Turing dhe Godel nuk mbetën vetëm në mesin e shekullit të kaluar. Në dekadat që pasuan, filozofë dhe matematikanë të tjerë iu kthyen vazhdimisht atyre, secili nga këndvështrimi i vet.
Në artikullin e tij të njohur “Minds, Machines and Godel”, botuar në revistën Philosophy, John Lucas shkoi një hap më tej se Godeli: ai argumentoi se, për çdo sistem formal konsistent dhe mjaftueshëm të fuqishëm, mund të ndërtohet një pohim që sistemi nuk mund ta vërtetojë, ndërsa mendja njerëzore, sipas tezës së tij, mund ta njohë vërtetësinë e atij pohimi. Prej kësaj, ai nxori përfundimin se asnjë makinë nuk mund të jetë një model plotësisht i përshtatshëm i mendjes njerëzore. Këtë linjë arsyetimi, e njohur si argumenti Lucas–Penrose, e zgjeroi më tej, duke e lidhur edhe me fizikën, matematikani dhe fizikani britanik Roger Penrose, fitues i Çmimit Nobel në Fizikë në vitin 2020. Në librat e tij “The Emperor’s New Mind” (1989) dhe “Shadows of the Mind” (1994), Penrose argumenton se vetëdija dhe kuptimi matematikor njerëzor përfshijnë procese që nuk mund të shpjegohen tërësisht përmes algoritmeve. Duke u mbështetur në teoremat e paplotësisë së Godelit, ai mbron pikëpamjen se ekzistojnë aspekte të arsyetimit matematikor që nuk mund të riprodhohen nga një sistem kompjuterik. Sipas këtij këndvështrimi, dallimi ndërmjet njeriut dhe makinës nuk qëndron vetëm te shpejtësia e përpunimit të informacionit, por edhe te natyra e të kuptuarit. Një makinë mund të zbatojë rregulla të ndërlikuara matematikore, ndërsa çështja nëse ajo mund të ketë të njëjtin kuptim të brendshëm të së vërtetës matematikore mbetet e diskutueshme.
Megjithatë, argumentet e Lucasit dhe Penrose janë kundërshtuar nga shumë logjicienë dhe studiues të inteligjencës artificiale, duke vënë në dukje se për të njohur vërtetësinë e fjalisë së Godelit duhet më parë të dihet me siguri se sistemi formal përkatës është konsistent.
Një qasje tjetër e gjejmë te matematikani britanik Kevin Buzzard, profesor në Imperial College London, i njohur për punën e tij në formalizimin dhe verifikimin kompjuterik të vërtetimeve matematikore. Buzzard e sheh zhvillimin e sistemeve kompjuterike si një mundësi të rëndësishme për ta ndryshuar kërkimin matematikor. Përmes sistemeve të tilla si Lean, ai punon për shndërrimin e vërtetimeve matematikore në forma që mund të kontrollohen me saktësi nga kompjuterët. Madje, përparimi më i fundit qëndron pikërisht në ndërthurjen e dy arkitekturave: modeleve gjenerative të inteligjencës artificiale, të cilat propozojnë ide dhe shtigje intuitive zgjidhjeje, me verifikuesit formalë si Lean, të cilët kontrollojnë përputhjen e çdo hapi logjik me rregullat dhe supozimet e sistemit formal.Në këtë rast, marrëdhënia ndërmjet njeriut dhe makinës shihet nga një kënd tjetër. Inteligjenca artificiale nuk ka pse të trajtohet vetëm si konkurrente e mendjes njerëzore. Ajo mund të shërbejë edhe si një instrument që zgjeron mundësitë e matematikanëve për të ndërtuar dhe verifikuar argumente gjithnjë e më të ndërlikuara. Por edhe këtu ekziston një dallim i rëndësishëm: verifikimi formal mund të konfirmojë se një përfundim rrjedh logjikisht nga supozimet e përcaktuara, por nuk përcakton vetvetiu nëse është formalizuar pikërisht problemi i synuar, nëse rezultati është origjinal, nëse ka rëndësi të veçantë shkencore apo nëse ofron një kuptim të ri për problemin.
Gjatë vitit 2026, kjo çështje mori një peshë të veçantë. Aftësia e modeleve të reja për të prodhuar vërtetime të ndërlikuara nxiti një debat të gjerë mes matematikanëve të kohës sonë, sidomos pas deklaratës “A Severe Misalignment of AI in Mathematics” të 11 shtatorit 2026, të nënshkruar nga 25 fitues të Medaljes Fields mbi mospërputhjen ndërmjet qëllimeve të kompanive të inteligjencës artificiale dhe komunitetit matematikor.
Më 13 shtator 2026, matematikania amerikane Bryna Kra, ish-presidente e Shoqatës së matematikanëve të Amerikës, publikoi në blogun e Terence Taos një analizë ku argumentonte se inteligjenca artificiale po ndryshon jo vetëm mënyrën e zgjidhjes së problemeve, por edhe vetë kriteret me të cilat vlerësohet përparimi matematikor. Për shumë breza, vërtetimi i një teoreme të rëndësishme ishte dëshmi e punës së gjatë intelektuale, e kuptimit të thellë dhe e aftësisë për të zbuluar lidhje të reja ndërmjet koncepteve. Mirëpo, nëse inteligjenca artificiale mund të prodhojë vërtetime me një shpejtësi shumë më të madhe sesa matematikanët janë në gjendje t’i analizojnë, atëherë numri i problemeve të zgjidhura nuk mund të mbetet kriteri i vetëm për vlerësimin e arritjeve shkencore. Për Bryna Kra, rëndësi ka edhe kuptimi, shpjegimi dhe integrimi i rezultateve të reja në njohurinë ekzistuese matematikore. Një teoremë e vërtetuar mund të jetë një arritje e rëndësishme, por përparimi i matematikës kërkon edhe të kuptuarit e ideve që qëndrojnë pas saj.
Një qëndrim tjetër ka shprehur matematikani britanik Timothy Gowers, fitues i Medaljes Fields, një nga vlerësimet më prestigjioze në matematikë, i cili zgjodhi të mos e nënshkruante deklaratën e kolegëve të tij.Në një analizë të publikuar më 17 shtator 2026, me titull “Why I didn’t sign the Fields medallists’ letter”, Gowers argumenton se matematikanët nuk kanë domosdoshmërisht të njëjtin qëllim në veprimtarinë e tyre shkencore. Për disa, motivimi kryesor është zgjidhja e problemeve të vështira, ndërsa për të tjerë është arritja e një kuptimi më të thellë konceptual. Të dyja këto qasje kanë vlerë dhe kanë kontribuar në zhvillimin historik të matematikës. Gowers nuk e konsideron domosdoshmërisht negative mundësinë që inteligjenca artificiale të prodhojë më shumë rezultate sesa matematikanët mund t’i studiojnë. Përkundrazi, një zhvillim i tillë mund të zgjerojë në mënyrë të jashtëzakonshme njohurinë matematikore. Shqetësimi i tij lidhet më shumë me ruajtjen e traditës së kërkimit, me motivimin e brezave të ardhshëm të matematikanëve dhe me aftësinë e komunitetit shkencor për t’i përvetësuar këto rezultate.
Në këtë debat ka marrë pjesë edhe matematikani Terence Tao, fitues i Medaljes Fields dhe një nga figurat më të njohura të matematikës bashkëkohore.
Më 24 korrik 2026, në kuadër të Kongresit Ndërkombëtar të Matematikanëve në Filadelfia, Tao trajtoi drejtpërdrejt ndikimin e inteligjencës artificiale në të ardhmen e matematikës. Më pas, në ligjëratën e 9 tetorit në Caltech dhe në një artikull të botuar më 22 tetor në revistën Nature, ai propozoi kalimin drejt një epoke që e quan Math 2.0, ku përparimi matematikor nuk do të vlerësohej vetëm përmes numrit të problemeve të zgjidhura dhe teoremave të vërtetuara, por edhe përmes thellësisë së kuptimit që krijojnë këto rezultate dhe parashtrimit të provlemeve të reja. Ai theksoi se nëse vërtetimet e problemeve të vështira bëhen gjithnjë e më të arritshme përmes AI, atëherë sfida e ardhshme e matematikanëve nuk do të jetë vetëm zgjidhje e problemeve të hapura por edhe përzgjedhja e pyetjeve që meritojnë të shtrohen, kuptimi i rezultateve dhe zbulimi i lidhjeve të tyre me pjesë të tjera të matematikës.
Personalisht, për një kohë të gjatë nuk i kam marrë shumë seriozisht parashikimet e Alan Turingut. Mirëpo, zhvillimet e viteve të fundit po tregojnë se, të paktën në disa drejtime, largpamësia e tij ishte e jashtëzakonshme. Sot mendoj se, në vend që të përpiqemi t’u kundërvihemi këtyre ndryshimeve, duhet të përshtatemi me to dhe t’i shfrytëzojmë mundësitë që krijojnë për ta çuar përpara matematikën dhe njerëzimin në përgjithësi. Një përvojë konkrete që ma ka përforcuar këtë bindje lidhet me revistën ndërkombëtare MathProblems, ku shërbej si kryeredaktor. Kohët e fundit kemi filluar të pranojmë zgjidhje matematikore të një cilësie të jashtëzakonshme, të cilat na kanë shtyrë të shqyrtojmë edhe rolin e mundshëm të inteligjencës artificiale në përgatitjen e tyre. Përballë këtij realiteti, në bordin redaktues kemi vendosur të mos kufizohemi vetëm në mënyrat tradicionale të trajtimit të problemeve matematikore. Kemi krijuar një rubrikë të veçantë, në të cilën propozojmë probleme që vazhdojnë të paraqesin vështirësi për sistemet aktuale të inteligjencës artificiale. Edhe më interesante është se tashmë kemi filluar të pranojmë përgjigje të problemeve të propozuara në këtë rubrikë, të cilat paraqesin vështirësi të konsiderueshme për sistemet aktuale të inteligjencës artificiale.Disa nga këto përgjigje janë arritur nga matematikanë me ndihmën e inteligjencës artificiale dhe përmbajnë ide që, sipas vlerësimit tonë, duken origjinale dhe ofrojnë qasje premtuese se njeriu me AI do t’i zgjidhë problemet që nuk i zgjidh as AI e vetme dhe as njeriu i vetëm.
Pyetja se çfarë mund të llogarisë një makinë është e ndryshme nga pyetja se çfarë do të thotë ta kuptosh një të vërtetë matematikore. Po kështu, fakti që një makinë mund të prodhojë një vërtetim nuk përcakton përfundimisht natyrën e inteligjencës që qëndron pas atij procesi.
Matematikani i së ardhmes mund të mos jetë domosdoshmërisht ai që zgjidh më shpejt një problem të vështirë, por ai që arrin të identifikojë problemet më të rëndësishme, të kuptojë lidhjet e tyre dhe të shpjegojë pse rezultatet kanë rëndësi.
Në fund, Turing dhe Goodel na kanë lënë dy mënyra themelore për ta kuptuar të njëjtën çështje: Turing na mëson se nuk duhet t’i nënvlerësojmë mundësitë e makinave vetëm sepse ato sot nuk arrijnë të bëjnë diçka që njeriu e bën, ndërsa Godel na kujton se suksesi i një procedure algoritmike nuk nënkupton se të gjitha të vërtetat matematikore mund të përfshihen brenda një sistemi të caktuar formal, pa e mbyllur çështjen nëse të gjitha format e arsyetimit njerëzor mund të përshkruhen algoritmikisht.
